שיחה עם פרופ' מנחם מגידור, נשיא האוניברסיטה העברית.

ספר היקום, אמר גליליאו, כתוב בשפה מתמטית. סמליה הם משולשים, עיגולים ושאר צורות גיאומטריות. בלעדיהם משול האדם למי שמשוטט במבוך חשוך. גם דקארט חשב שהמתמטיקה מייצגת אמת מוחלטת, ממנה נגזרים כל המדעים האחרים. לעומתם, ברטרנד ראסל, מגדולי המתמטיקאים במאה שלנו, ראה את הדברים באור שונה במקצת. הפיסיקה היא מתמטית, אמר ראסל, משום שאנחנו מסוגלים לגלות רק את התכונות המתמטיות של העולם. כך או כך, רבים בינינו מתקשים להבין את הספר החשוב הזה ואת שפת הסמלים שלו. יש אומרים, השכל האנושי לא נועד לעסוק במתמטיקה מופשטת ובפיסיקה עיונית. ואמנם, מנקודת מבט אבולוציונית ידע מתמטי אינו חיוני להישרדות. לאבות האדם די היה בפעולות חשבוניות בסיסיות של חיבור וחיסור כדי לתת מענה לבעיות הקונקרטיות ולצרכים הספציפיים שלהם. מה גם שהחישובים המתמטיים המורכבים טבועים ממילא, במטען הגנטי של בעלי החיים, לאחר שעברו תהליך אבולוציוני ארוך של שיפור ושכלול במשך עשרות מיליוני שנים. כך, למשל, כאשר נץ צולל לעבר טרף חמקמק הוא מבצע תמרונים, שאינם נופלים במורכבותם מאלה שעושה מחשב מודרני בתא הטייס בבואו ליירט מטוס אויב.

הזיקה ההדוקה בין הטבע למתמטיקה מפתיעה כשלעצמה. ככלות הכל, המתמטיקה נוצרה כל כולה בראשנו, היא עוסקת בעיקר בהגיון הפנימי של האקסיומות שלה. מנין ההתאמה המופלאה בינה לבין התופעות בטבע? המחשה לא שגרתית להתנהגות מתמטית בטבע היא של זבובים המקיימים את פעילות ההפריה שלהם על צואה טרייה של בקר. הזכרים מגיעים ראשונים למקום וממתינים לנקבות. מאחר שהזכרים יכולים להפרות להלכה מספר בלתי מוגבל של נקבות, אפשר היה לצפות מהם להתרוצצות קדחתנית בין הנקבות הזמינות כדי להבטיח לעצמם מספר מרבי של צאצאים. אבל, מאחר שכל נקבה פנויה זוכה לביקור של זכר, ומאחר שגדולים סיכוייו של המבקר האחרון אצל הנקבה להיות אבי הצאצאים, מתעוררת דילמה: אם יישאר על גב הנקבה מספר שעות – עד שתסיים להטיל את הביצים – הוא יבטיח אמנם את אבהותו, אבל אלה יהיו כל צאצאיו. מצד שני, אם יתרוצץ מנקבה לנקבה הוא יוכל להתגאות שידע הרבה זבובות בחייו, אבל אין בהכרח מיתאם בין הנתון הזה למספר הצאצאים שייוולדו לו. מכאן שאלת מיליון הדולר: מהו משך הזמן הקצר ביותר הנדרש ממנו להישאר על גבה של הנקבה, כדי להבטיח מצד אחד את אבהותו בסבירות גבוהה, ומצד שני לאפשר לו להפרות מספר מרבי של נקבות? מודלים מתמטיים נקבו ב־41 דקות כזמן האופטימלי לשהייה על גב הנקבה. כאשר בדקו את הפרקטיקה אצל הזכרים בטבע מצאו שהזמן בפועל הוא 36 דקות. מנין לזבובים ידע מתמטי מעמיק כל־כך?

פרופ' מגידור: זו שאלה שיש לה הסברים שונים, אבל אף אחד מהם לא ממש משכנע. הסבר אחד הוא הקאנטיאני. על־פי קאנט, אנחנו לא מגלים מבנים מתמטיים בטבע, אלא ממציאים אותם בשכלנו ומשליכים אותם על הטבע. הסבר אפשרי אחר להתאמה הגבוהה של מודלים מתמטיים לטבע הוא שהברירה הטבעית מכריעה בין אסטרטגיות שונות באמצעות אופטימיזציות הניתנות לתרגום מתמטי.

ינאי: אתה בעצם אומר שהטבע משיג באמצעות תהליך מעשי ארוך של בחינת אלטרנטיבות את האופטימיזציה שאליה מגיעים המודלים המתמטיים.

פרופ' מגידור: ניתן בהחלט לפתור בעיות מתמטיות גם על־ידי בחירה בין תוצאות המתקבלות באופן אקראי בהגרלות. אני מניח שהטבע הגיע לזמן השהייה האופטימלי של הזכרים על־ידי תהליך של העמדת זמני שהייה שונים במבחן הברירה הטבעית.

ינאי: יש משהו המייחד את המאה שלנו בתחום זה של מציאת מיתאם בין המתמטיקה לבין תופעות במציאות היומיומית?

פרופ' מגידור: הייתי אומר כך, למרות שהביטויים והמושגים המתמטיים במאה שלנו נעשו מאוד מופשטים, מאוד רחוקים מהניסיון היומיומי, נמצא להם שימוש במודלים המתארים תופעות טבע. זה נכון גם לגבי המאות הקודמות, ובכל זאת יש משהו שונה במאה העשרים. חשוב לזכור שכל המושגים המתמטיים הם מופשטים. אפילו המספר, המישור והמשולש הם בסופו של דבר מושגים אבסטרקטיים. עם זאת, למושגים המתמטיים עד סוף המאה התשע־עשרה היה ברובם הגדול ייצוג ויזואלי, כלומר היה להם איזשהו קשר ישיר לניסיון היומיומי שלנו. מה שהמאה העשרים מחדשת בתחום זה הוא שלמדנו לבנות מודלים מתמטיים לתופעות שבעבר לא ידענו איך לטפל בהן. קח למשל תהליכים כלכליים. עצם העובדה, שמדברים היום על כלכלה במונחים מתמטיים היא חידוש מרתק. הוא הדין לגבי מודלים בביולוגיה, אופן התפשטותן של מחלות אפידמיות, התנהגות חברתית של בעלי חיים וכדומה. לדוגמה, באוניברסיטה שלנו נבנו מודלים מתמטיים לחיזוי התנאים המביאים דבורים להחליט מתי לעבור משדה צוף אחד לשני, עוד לפני שמוצה שדה הצוף הראשון. במאה הקודמת לא חשבו שניתן להציג תופעות כאלו במודל מתמטי. יותר מזה – שמודל מתמטי יוכל להסביר ולתאר הכרעות מעין אלה.

ינאי: נדמה לי שדווקא הנוכחות המאסיבית של המתמטיקה בטבע, כפי שהיא באה לידי ביטוי בריבוי המודלים המתמטיים במגוון כה רחב של תהליכים ותופעות, מחזק את התמיהה בדבר הקושי שמתקשים תלמידי בתי הספר בלימודי מתמטיקה. למה יש פער כזה גדול בין המתמטיות של הטבע לבין היכולת שלנו להבין מתמטיקה?

פרופ' מגידור: אינני מקבל את הקביעה שלך לגבי הקושי של ציבור גדול להבין מתמטיקה. אם יש קושי, אני מטיל חלק מהאשמה על שיטות ההוראה. אני מדגיש: שיטות ההוראה, לא המורים. אתן לך דוגמה מתחום המוזיקה. לא כל נער או נערה מסוגלים לנגן ברמה של אולם קונצרטים, אבל רוב האנשים מסוגלים להעריך מוזיקה. כך צריך להיות גם במתמטיקה.

ינאי: יש הקושרים קושי זה באבולוציה. ככלות הכל, המוח שלנו עוצב כך שיוכל לשרוד בתנאים המיוחדים ששררו במהלך האבולוציה על פני כדור הארץ. למטרה זו לא נזקקו אבות האדם ליותר מאשר יכולת אריתמטית בסיסית – קצת חיסור, קצת חיבור, לא יותר מזה.

פרופ' מגידור: אני קצת חולק על הנחות היסוד שלך. למשל, אינני בטוח שהאריתמטיקה חיונית להישרדות. יש תרבויות אנושיות שעושות חיל עם אריתמטיקה המתבססת על המספרים 1, 2, 3 והרבה. אני רוצה להחזיר אותך למתמטיקה, שהיא פעילות מחשבתית העוסקת בהסקת מסקנות מתוך הנחות. אני חושב שליכולת הזאת יש יתרון אבולוציוני עצום. אדם צופה בטבע מתוך הנחות מסוימות ומסיק מהן מסקנות, שאינן בהכרח ברורות מאליהן. היכולת הזאת מעניקה למין האנושי יתרון עצום.

ינאי: האם העקרונות המתמטיים המשמשים אותנו יפים אך ורק לתנאים המיוחדים של המציאות על פני כדור הארץ, או שהם נכונים בכל מקום ביקום – יהיו התנאים הסביבתיים השוררים שם אשר יהיו? במילים אחרות, האם יש מתמטיקה אחת ליקום כולו?

פרופ' מגידור: אתה מעלה שאלה מאוד קשה. היא נוגעת במהותם של הישים המתמטיים, כגון מספרים, קבוצות ופונקציות. האם לדברים האלה יש קיום אובייקטיבי, אוניברסלי, או שמא הם פועל יוצא של מבנה המוח האנושי? הרגשת הבטן של רוב המתמטיקאים היא שהמתמטיקה אכן אוניברסלית.

ינאי: למרות האוניברסליות שלה, למרות שמכלול רחב של תהליכים ותופעות בטבע מושתת על עקרונותיה, המתמטיקאי קורט גאדל הראה שהמתמטיקה לא יכולה – בעקרון – להקיף את כל המציאות.

פרופ' מגידור: משפט גאדל הוא דוגמה מצוינת למה שאמרתי קודם, שהמתמטיקה במאה העשרים בונה מודלים מתמטיים לתופעות, שקודם לכן לא ידעו לטפל בהן מבחינה מתמטית. בהקשר זה, אחת ההתפתחויות המרתקות ביותר הייתה העובדה שהמתמטיקה בונה מודלים גם עבור עצמה. משפט גאדל הוא גולת הכותרת של קו מחשבה זה. משפט זה אומר, שכל מערכת מתמטית – שהיא מספיק עשירה מבחינת העובדות האריתמטיות הניתנות לניסוח ולהוכחה – איננה שלמה. כלומר, היא כוללת טענות שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. במלים אחרות, כל מערכת מתמטית שנבנה לא תוכל להשיב על כל השאלות שנוכל להציג לה במסגרת הנחותיה. מי שמאמין, כפי שגאדל האמין, כי ליישים המתמטיים יש קיום אובייקטיבי, נאלץ להשלים בעקבות משפט גאדל עם כך שקיימת מגבלה על יכולתנו למצות את כל מה שנכון לגבי היישים הללו באמצעים מתמטיים.

ינאי: במובן מסוים אפשר לומר כי בדבריו של גאדל, שמערכות הידע שבידינו אינן שלמות, לא היה חידוש, כיוון שאריסטו ויום אמרו את זה לפניו.

פרופ' מגידור: אתה מדבר על אינדוקציה, על הכוונה להסיק מתוך הניסיון הסופי היומיומי משהו על עולם אינסופי. אני רואה בניסיון הזה להסיק בעזרת שיקולים הגיוניים משהו על עולם אינסופי מידה רבה של עוז, אפילו חוצפה. המפתיע הוא, שחלק מניסיונות אלה קצר הצלחה. קח למשל את אחד המשפטים בספר התשיעי של אוקלידס, האומר כי יש אינסוף מספרים ראשוניים. זוהי טענה שלא ניתנת אפילו לבדיקה ניסיונית, שהרי לא נוכל לעבור על־פני כל המספרים כדי להיווכח שתמיד תיתקל בעוד מספר ראשוני. אבל, לקיחת הידיעה הזאת אל מעבר לניסיון היומיומי, והנכונות לקבוע בעזרת שיקולים הגיוניים, שאכן – בסדרת המספרים האינסופית – חייבים להיות אינסוף מספרים ראשוניים, זו מהותה של המתמטיקה. והנה בא גאדל ואומר, שלמרות יכולתה המדהימה של המתמטיקה להסיק דברים מעבר לניסיון היומיומי ולטפל באובייקטים אינסופיים, חלות עליה מגבלות. והמגבלות הן שלא תוכל למצות את כל השאלות שאתה יכול לשאול.

ינאי: אני רוצה לעבור לשאלה המתייחסת לכובע השני שלך כנשיא האוניברסיטה העברית. בסקר שנערך לפני שנים אחדות התברר שישראל נמנית עם חמש המדינות המובילות בעולם במדעי המחשב, בכימיה, בפיזיקה, בחומרים, בביולוגיה ובביולוגיה מולקולרית. מתמטיקה לא מופיעה משום מה ברשימת ההצטיינויות שלנו.

פרופ' מגידור: אינני מכיר את המחקר הזה. לי אין ספק שישראל נמצאת במקום מאוד מכובד, הייתי אומר בצמרת המחקר המתמטי בעולם. יותר מזה. מקומה היחסי של ישראל בעולם המתמטי גבוה יותר ממקומנו היחסי במקצועות אחרים. רק לאחרונה החליט האיגוד העולמי למתמטיקה לצרף את ישראל לקבוצה של שבע המדינות הראשונות בצמרת העולמית של המתמטיקה. כדי לתת לך מושג אל איזו ליגה מדובר, הצמרת הזאת כוללת את ארצות־הברית, קנדה, בריטניה, גרמניה, צרפת, יפן ורוסיה.

ינאי: אני רוצה להציג לך תוצאות של סקר אחר, שנערך לפני שנים אחדות והקיף 41 מדינות ו־500 אלף תלמידים. הסקר הראה שישראל נמצאת במקום ה־21 מבחינת האוריינות המתמטית של תלמידיה. אתה רואה בתוצאות אלה אות אזהרה?

פרופ' מגידור: הייתי ממליץ להתייחס לסקר הזה ברצינות. הוא בהחלט מעורר דאגה, אם כי – וכאן אומר אולי דבר לא פופולרי, ודאי לא פופוליסטי – במקרים רבים הרמה המתמטית של מדינה נקבעת לפי העשירון העליון בתחום.

ינאי: האליטה המתמטית?

פרופ' מגידור: כן. יכול בהחלט להיות מצב, לא בריא כשלעצמו, של אליטה מטופחת, לצד ציבור רחב של תלמידים ברמה בינונית.

ינאי: אתה רואה קשר בין רמת המתמטיקה לבין יכולתה המדעית של מדינת ישראל?

פרופ' מגידור: יש קשר והוא הדוק. אני חושב שעצם הרצון לעסוק במחקר טהור ולמצוא בו אתגר הוא חשוב ביותר. אומר יותר מזה, אם הציבור לא יראה בכך משהו בעל חשיבות עליונה, נידרדר גם במדעים אחרים.

ינאי: במבט לאחור, מה הם ציוני הדרך החשובים ביותר של המתמטיקה במאה העשרים?

פרופ' מגידור: במובנים רבים, המאה העשרים הייתה פורייה יותר מבחינה מתמטית מכל המאות שקדמו לה. משפט גאדל הוא אחת הפסגות של המתמטיקה במאה שלנו. כך גם בעיית פרמה המפורסמת, שלא פוצחה במשך 350 שנה ונפתרה לפני שנים אחדות. המאה העשרים השתבחה בהישגים נפלאים בתחום המתמטיקה, בעיקר בבניית מבנים אבסטרקטיים, שעם הזמן התברר שהם נותנים פתרונות לשאלות קונקרטיות.

ינאי: האם נשאר משהו לא פתור עדיין?

פרופ' מגידור: אין מה לדאוג. רק בתורת המספרים יש הרבה שאלות מרתקות פתוחות. בנוסף על כך, המתמטיקה תצטרך להמשיך לספק לפיסיקה מודלים לתיאור התיאוריות הפיסיקליות.

ינאי: כלומר, אתה לא חוזה אבטלה בתחום המתמטיקה במאה השנים הבאות?

פרופ' מגידור: בהחלט לא.