א    🔗

ראשית הוראת ההנדסה נקשרת בעבודה, הצריכה לגופה, כמו חקלאות, בניה והתקנת כלי עבודה, רהיטים ומכשירי למוד. הילדים, נניח, עסקו היום או לפני יומים בישור ערוגות, בזריה או בנו גדר. כל אחת מהמלאכות האלה חייבה מספר פעולות הנדסיות. הילדים מלאו אותן על פי הוראותיו של המורה, בלי הבן, לפעמים, טעם הדברים. ובצדק, כי את הפעולות האלה – כמו נטית קו־מדה ומדידת מרחקים קטנים שבין קו לקו – אשר הגשמתן לא תקשה מילד ושנחוצות הן כל כך לעצם העבודה. אין לדחות עד אשר יסגל לו הילד את ידיעת ההנדסה.

עתה נוצרה במחשבת הילד נקודת מוצא ללמוד על הקו הישר ותכונותיו. העבודה וההסתכלות יוצרות בנפש הילד רשמים והרגלים, אשר מתוכם ועל פיהם מסתבר הלמוד; הן הנן אבני הפנה ללמוד והן גם המסתייעות במסקנותיו. ואף־על־פי־כן אין לערבב פרשה בפרשה: אין העבודה והלמוד משמשים אלא כעין בסיס אחד לחברו. אין שעור ההנדסה נלמד בשעת עצם העבודה, כי אין לבו של הילד פנוי באותה שעה גם לעבודה, גם להסתכלות וגם למחשבה. בשעת העבודה נמסרים אך ורק הבאורים ההכרחיים בשביל מעשה העבודה והקלים ביותר. וגם זאת: השיחות הראשונות בהנדסה תהיינה ערוכות על פי נושאים קבועים מלמפרע על־ידי המורה, ולא במקרה לרגלי העבודה המזדמנת.

ואשר למדרגת התענינותו של הילד – כי יש אומרים, שרק דרישות עבודתו וצרכיו עלולים לעורר את רצונו ללמוד, להבין ולתפוס – הרי זו, לדעתי, נגרמת במדה מרובה על ידי פֹעַל לבם של המורים והמחנכים. בידם למצוא נקודת אחיזה בלב הילד לכל ענין, אם מתאים הוא לגיל הילד, לאוצרות רשמיו והרגליו ולכוחות נפשו. בידם להגיע את הענין עד לב הילד, עד בבת מחשבתו. עם כל חופש הבחירה, אשר כאילו ניתן לילדים בבתי ספרנו – נפשם נדלקת תמיד באש נשמתו של המורה. כל מורה שם גונו לבית הספר. כפי הנטיה היסודית הטמונה בגנזי לבבו. דיו, למשל, לאדם מחונן בכשרון ההוראה והציור להופיע בבית הספר, והרצון לצייר יעלה בלב התלמידים. וכן להפך, כאן אין כללים ואין חוקים: כאן פועלת נפש המורה המפולשת למחשבת הילד.

טבע המדע המתמטי מחייב את המורה לבל יזוז, ככל האפשר, מהקו ההגיוני וישמור תמיד על סדר הנושאים המחויב מטעם טבע המדע, אף כי הוא לא מחויב מתוך העבודה הנעשית. ואין גם צורך והכרח, שכל הענינים ההנדסיים יתבּררו מתוך העבודה, כשם שאין צורך כי כל עבודה הנעשית בידי הילדים תהא מבוארת עובר לעשייתה בעזרת הלימוד. אם יהא צורך למשל, לרגלי העבודה למדוד זוית על פני הקרקע, רשאי המורה לבאר לילדים את הטכניקה של המדידה, בלי לעמוד על תורתה.

עיקר הדבר שעצם הפעולה תהא מתאימה לכוחות הילד ושתהא לילד אפשרות לבחון בעין או בעזרת מדידה אלמנטרית יותר, כי המדידה היא נכונה בקירוב. יש לשמור תמיד בעין פקוחה על נקודות המגע שבין הלמוד והעבודה, ולהשתדל להרבות בנקודות אלה, לחפש בעבודה נקודת־מוצא בשביל הלמוד ולהפך – אבל בלי לזעזע על ידי כך את סדרי הלמוד ואת סדרי העבודה.

גיל הילד ונסיונו – מדבר אני בילדים בני 10־12 – מחייב שחומר הלמוד יהיה קונקרטי, כלומר, שיכלול בתוכו ענינים שנתקל בהם הילד, שהסתכל אליהם ושהוא מוסיף לבוא אתם במגע ובמשא. אותו הגיל מחייב, שדרך ההוכחה תהא בעיקר אינדוקטיבית ונסיונית, שאינה מעיפת את המחשבה המופשטת והבלתי מבוגרת, אלא מרשימה את נפש הילד, מסדרת ומנסחת את תוצאות התרשמותו. הנה הילד מעביר למשל קוים שונים – ישרים ולא ישרים –, מודדם, ואחר־כך מסכֵּם, שהקו הישר הוא המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות נתונות.

אלה הם בקצור היסודות, שעל־פיהם אני מנסה להציע שורה של שיחות ראשונות בהנדסה. שמתי לי למטרה להביא את הילד לידי הבנת מדידת קוים וזויות על־פני הקרקע, לידי הכנת תרשימים ושרטוטים של המדידות האלה, להתקנת מכשירי המדידה הפשוטים ביותר; ויחד עם זאת – להקנות לו מושגים ברורים ויסודיים בראשי פרקי ההנדסה – מושגים הקשורים במוצגים בהירים ונהירים – אשר ישמשו לו פרוזדור לכניסתו לגיאומטריה הדידוקטיבית.

 

ב    🔗

המורה פותח את השיחה ההנדסית הראשונה בקשר עם שיחה על אחת העבודות שנעשו בידי הילדים בו ביום או לפני ימים אחדים. נניח שהילדים זרעו פול. הם ערכו רשימה או ספרו על מהלך הזריעה. מתוך השיחה התבררו לאט־לאט – על ידי גבית עדות הדדית – פרטי העבודה. הפעולות, שלוו את העבודה הזאת, עלולות לשמש חומר לנושאים לימודיים שונים: סוג הקרקע, בוטניקה, חקלאות, טכניקה, הנדסה ועוד. כל פעולה חיה היא ומגוונת ואלמלא הרצון הבוחר מתוכה, בהתאם למטרה, את הנושא הדרוש לו – לא היינו יוצאים לעולם בשיחותינו ובשעורינו מתוך ערבוב פרשיות וקפיצות מענין לענין.

נניח איפוא, כי הנה עתה נתן המורה את דעתו להשתמש בפעולת הזריעה לשיחה הנדסית אלמנטרית.

הילדים מספרים על המדידות שנעשו בשעת הזריעה: נטו חבל־מדה וסמנו שורה ראשונה לזריעה, אחר מדדו משני קצות השורה הזאת בקנה־מדה מסוים מרחקים שוים, סמנו שורה שניה וכו' וכו'.

בפעולות האלה ניתן תוכן הנדסי לשיחה על הקו הישר בכלל ועל הנצב ועל המקביל בפרט. אבל אין למורה להתעכב על כל הנושאים האלה בבת אחת. השיחה הראשונה – ואולי הראשונות – מרוכזת בעיקר על ברור המהות של “קו ישר”. אמנם בהתרחב השיחה, מוכרח הוא לעבור את הגבול ולנגוע במושגים אחרים, כי כל קו ישר הרינו או נצב, או נוטה, או מקביל או חותך וכו'. ברור המהות של קו ישר לא יהיה שלם, כל זמן שלא תבדילנו מקוים לא ישרים: עקומים או שבורים. אולם כל זה רק במדה, שהכרחי הדבר לברור הנושא העיקרי. ואין צורך וגם לא רצוי להתעכב הרבה בשעה זו על המושגים האלה, המזדמנים בקשר עם ברור הקו הישר וללמוד אותם. בכל שעור ושיחה הכרחית נקודה מרכזית ונקודות־אגב.

השיחה מתרכזת בעיקר על “שרטוט והעברת קו ישר”. נקודת מוצא משמש החבל הנטוי לאורך השורה. דבר זה, שברור המושג על הקו הישר מתחיל מקו נטוי על גבי הקרקע ולא משרטוט על הלוח, עיקר חשוב הוא. התחלה זו מעמידה את הלמוד ההנדסי על כנו הנכון. אי־אפשר לנו בלי שרטוט על הלוח: הלוח כניר ישמש לנו תמיד מכשיר מצוין להסברת עניני ההנדסה. אבל על הילד לדעת מהתחלה, כי כל מה שיש בידו לשרטט על הלוח עליו לדעת ולהעביר על גבי הקרקע והגופים. ושאיפה זו תהא לו שאיפה שאינה פוסקת. ועתה כשעל כל צעד ושעל בארץ נפגשים אנו בפעולות הנדסיות, יש צורך יותר רב וגם אפשרות יותר מרובה לקשור את הלמוד במציאות. רשאי המורה להתיר לעצמו להורות הנדסה לאו דוקא מתוך העבודה הנעשית בבית־הספר, כי גם העבודה הנעשית מחוץ לבית־הספר חלק היא מחיי הילד. העיקר שהקשר שבין הלמוד “על הדבר” ובין “הדבר עצמו” יהיה אמיץ.

נשוב לעצם השיחה.

המורה מכין אמת־מדה, חבלים, חוטים; הילדים – סרגל, עפרון, גיר מותחים חוט או חבל בכוונים שונים מנקודה אחת או משתים־שלוש נקודות על־גבי המישור שבחצר, על גבי הקירות, הרצפה והרהיטים. אלה הם קוים ישרים. המורה מעיר על הזוית הנוצרת בין שני קוים ישרים הנפגשים בנקודה אחת, בלי לעמוד ביותר על מהותה. מסמנים שתי נקודות ומותחים חבל ביניהן. מסמנים שלוש נקודות – ומותחים חבל ביניהן. מתברר, כי בין שתי נקודות תמיד אפשר להעביר קו ישר ורק אחד; דרך נקודה אחת אפשר להעביר קוים ישרים אחדים; לא בין כל שלוש נקודות אפשר להעביר קו ישר.

ועתה – איך לקיים את הקו הישר, אחרי שמסירים את החבל? מורחים את החוט בגיר או בפחם, מהדקים אותו בשתי קצותיו אל השולחן, אל הרצפה או אל איזה קרש שהוא. ילד אחד זוקר את החבל באמצע ומניח לו לשוב אל מצבו הקודם. החבל מכה בשולחן ומשאיר אחריו סימן – זהו סימן הקו הישר (אהרונסון). את התרגיל הזה כדאי להמשיך פעמים אחדות, כדי לאמן את הידים. הילדים בטח ראו כי ככה עשו הבנאים, הנגרים והחייטים. מהראוי שהמורה ישתדל, שהילדים ישתמשו בתרגיל זה באחת מעבודותיהם.

נגשים לשרטט קוים ישרים על הלוח. איך לשרטט? בסרגל. משרטטים עתה על הלוח קוים ישרים דרך נקודה אחת, בין שתי נקודות ובין שלש נקודות: אותם התרגילים שעשו לפני זה בחוט ובחבל,

להעברת קוים ישרים אחרים דרך נקודה אחת יש ערך מיוחד. פעולה זאת מבליטה ביחוד את כוון היושר, ממחישה את מושג ה“כוון” ומושג הזוית ועוקרת מלב הילד את הטעות, השגורה לפעמים גם בין אנשים גדולים, שרק הנצב והמקביל נראים להם כקוים ישרים, ולכל קו ישר נוטה קוראים קו לא ישר.

לבסוף משרטטים הילדים על הלוח קוים ישרים ביד ובוחנים אותם בסרגל, אימון זה חשוב הוא מאוד.

סכום: א. קו ישר אפשר להעביר על־ידי חוט או חבל מתוח, על־ידי חוט מתוח בגיר או בפחם ועל־ידי סרגל נכון.

ב. דרך נקודה אחת אפשר להעביר כמה וכמה קוים ישרים.

ג. בין כל שתי נקודות אפשר להעביר קו ישר ורק אחד.

ד. לא בין כל שלש נקודות אפשר להעביר קו ישר.

ה. שני קוים ישרים הנפגשים בנקודה אחת יוצרים ביניהם זוית.

הילד בסכמו בכתב את כל ההנחות האלה, משרטט על יד כל הנחה שרטוט מתאים.

 

ג. קוים ישרים וקוים לא ישרים    🔗

שעור זה מוקדש לשיחה על הקוים הישרים ועל הקוים השבורים או העקומים המצויים בטבע ובסביבה. מזכירים רצועות צרות של בד, של גומי, חוט דק, שורות המחברת, מוטות מסלת־הברזל, חוטי־הטלגרף, הקוים בין שכבות ההר – אלה אשר לרגלי שטחם הצר נדמים לנו כקו יחיד, אף כי את כל אחד מהם אפשר לשוב ולחלק לקוים צרים, לו היו לנו לשם כך מכשירים חדים ודקים מאוד. נזכרים בקוים בלתי ישרים כמו הקשת, חלקים ידועים של רהיטים, פי הצלוחית, המגל, משקופים מקומרים ועוד.

אחר מתבוננים למיני הקוים המסמנים גבולות גופים שונים: פאות הרהיטים, הקירות, הלוח, הקסת ועוד ועוד. בשעת השיחה מפנה המורה את לב התלמידים לפאות הגובלות את הגוף בצורת קו שבור, קו עקום או בצורת עגול – אבל אינו מתעכב ביותר עליהם: רק במדה שזה דרוש לו בשביל להבדילם מקוים ישרים.

הילדים משרטטים את הגבולות מסביב לגופים שונים. מודדים את הגבולות הישרים בסנטימטר: אבל כדאי לנסות ולמדוד גם גבולות עקומים (בנייר ובחוט).

שיחה על שורות של חיילים, של תלמידים, של בתים ועוד ועוד.

בבנינים וברהיטים מצויים קוים ישרים יותר מעקומים.

המורה מסמן שתי נקודות על הלוח. התלמידים משרטטים ביניהן קו ישר, קו עקום וקו שבור. מודדים את הקוים ונוכחים, כי הקו הישר הוא המרחק הקטן ביותר בין שתי הנקודות. מנסים אותו הדבר על השולחן, על הרצפה, בחצר וכו'.

סכום: קו ישר הוא המרחק הקטן יותר בין שתי נקודות. הילדים מתחרים בריצה לאורך קו נטוי: מנסים ללכת או לרוץ בכוון שבור או עקום.

לבסוף מנסחים הילדים את הרגשתם: בריצה ישרה אין הם משנים את הכיוון, אינם נוטים לשום צד ופניהם מועדים תמיד לצד אחד. יש, לדעתי, ערך רב להרגשה הפסיכולוגית של כוון ישר.

המורה נכנס עם הילדים בשיחה על השמוש במלה “ישר” בהשאלה: איש ישר, ישרים דרכי ד‘, דרך הישר, ישר לב, השכל הישר, רוח ישרה, מישרים וכו’.

 

ד    🔗

השיחה הבאה מוקדשת לסמון קוים ישרים על פני הקרקע בין שתי נקודות רחוקות זו מזו לבאר, מפני מה אי אפשר למדוד כאן בחבל מתוח? נועצים בשתי הנקודות הנתונות שני מקלות מחודדים בראשם. להם קוראים ציונים. הציונים האלה צריכים להיות נעוצים באופן שיהיו זקופים למעלה ולא יטו לשום צד. לשם כך שמים לציון אנך. כדאי שהילדים לפני שים האנך יגדירו לעין, אם הציון עומד זקוף או נוטה ואחר יבחון באנך. נכנה את הציון האחד א' ואת השני ב‘. ועתה עלינו לסמן קו ישר בין א־ב, או בקצרה – להעביר קו ישר א־ב. אחד המודדים, הוא המודד הראשי, עומד מאחרי הציון א’; השני לוקח ציון ג' ועומד באחת הנקודות בין שני הציונים א־ב באופן, שהרואה מאחרי א' לא יראה לא את ב' ולא את ג‘. הרואה מא’ מודיע בנפנוף יד, כי אמנם כן הוא. ואז נועץ השני את המקל ג' באדמה בכוון האנך. אחר הוא לוקח ציון רביעי, שם אותו בין ב' וג' באופן, שהרואה מאחרי א' לא יראה אף אחד מהציונים האלה. וכן הלאה והלאה. שורת הציונים הלה מסמנת קו ישר בין א' ובין ב'.

אחרי נסיונות אחדים לסמן קו ישר באופן כזה בין נקודות שונות, ככל האפשר במישור, רושמים התלמידים במחברת את דרכי הפעולה הזאת ומצירים אותה. כדאי להם גם לבחון בחבל מתוח את הקוים הישרים האלה. רצוי לפנות למודד מומחה, אשר יכון פעם או פעמים את הציונים האלה ויתן למורה הוראות טכניות על צורות המקלות, עבים, ארכם ואופן העמדתם.

השמוש באנך לפני שהילדים למדו עליו אינו גורע כל עיקר. הנטיה להעמיד עצם באופן מאונך טבעית היא לנו. וכל ילד בנעצו מקל יראה שלא יטה לצדדים. ובמבט הראשון יוכח, כי כוון האנך הוא הכוון הדרוש שהציון לא יפול ויעמוד זקוף. ואין צורך לבאר לילד בשעת מעשה את טיב האנך, כי כלל זה יהיה בידנו, שזמן קליטת הרשמים והעבודה אינו נאות ללמוד שטתי.

אולי כדאי לפעמים להקדיש במשך הימים הקרובים אחרי השיחות על הקו הישר שיחה מיוחדת על האור ותכונתו להתפשט בקו ישר. ואגב השיחה הזאת יתעכב המורה עם הילדים על הצל ועל שבירת קוי־האור. שיחות כאלה חשובות מאוד גם בשביל המדידות הבאות: מדידת זוית, מדידת גובה, ישור פני הקרקע ועוד ועוד.

אולי להסמיך אחרי השיחות ההנדסיות האלה גם שיחה על כוח ההתמדה בתנועת העצם: כל עצם ממשיך להתנועע באותו הכוון שהתחיל בו, כל עוד כוח אחר או מעצור לא ישנה את כוונו.

הקשר החי שבין השיחות ההנדסיות ובין שיחות הטבע בכלל ובין פיסיקה בפרט עלול להביא הרבה ברכה. ועל המורים להעיר ולעורר במגמה זו.

 

ה. מדות האורך    🔗

המורה מכין בשביל המחלקה אמת מדה, מטר, מחוגה ומזוית; הילדים – סרגל, גיר ועפרון.

מסמנים שתי נקודות על פני הלוח ומשרטטים ביניהן קו ישר בעזרת סרגל. אחר ממשיכים את הקו בעזרת הסרגל משני קצותיו. מתברר כי שתי נקודות נתונות קובעות בהחלט את כוון הקו הישר העובר דרכן. על כן רשאים אנו לסמן כל קו ישר בשם א־ב, אם כל אחת מהאותיות הללו מסמנות נקודה על פני הקו. אותו התרגיל נעשה על פני הרצפה. מסמנים שתי נקודות ונוטים דרכן חוט ארוך. הכוון הישר של החוט נקבע על ידי שתי הנקודות הנתונות; ואם יטה החוט כל שהוא מן הכוון הנתון – יהא כוונו שבור או עקם.

נגשים לברור מדות האורך. מתחילים ממטר וחלקיו: 1 מ. = 10 ד“מ. = 100 ס”מ. = 1000 מ“מ. המורה מבאר, כי קו ישר שארכו קבוע נקרע קטע. מדמים את המדות למדות חלקי־הגוף: רחב אצבע, אורך אצבע, אורך פסת היד, אורך הזרוע, הקף הראש, הקף החזה וכו' וכו'. עוברים למדות שלמעלה ממטר.: 1 ק”מ, = 1000 מטרים. מודדים את אורך הרצפה או החצר בפסיעות וקובעים את אורך הפסיעה. בטיול בוחנים על פי השעון, בכמה זמן עברו קילומטר אחד, שנים וכו‘. אומדים לעין את האורך ואת הרוחב של גופים שונים בקנה־מדה מקטן. רושמים דיאגרמות שונות, למשל, של מספר התלמידים בבית הספר ובכל מחלקה, מספר הגברים, הנשים והטף במושב או בקבוץ, הוצאות המטבח, הוצאות המשק, היחס המספרי של היבול לזרע וכו’. מובן שיש כאן אפשרות וצורך לרשום דיאגרמות של הופעות הטבע כמו החום, אורך היום, משקעים, לחץ האויר ועוד. וזאת לדעת כי אין לחכות בלמוד עד אשר יעשו כל התרגילים האלה. תרגילים אלה אינם באים לשם למוד ההנדסה בלבד אלא אגב למודים אחרים, אבל כמה מסייעים הם להסתכלות ההנדסית. זה יוצר את הקשר החי והטבעי שבין למוד ללמוד. אחד התרגילים החשובים מאוד להבנת קנה המדה תשמש קביעת המרחקים שבין מקום למקום על פי המפה.

הדיאגרמה אסור לה שתהא מונחת כאבן שאין לה הופכים, אלא אחרי הכנה יש צורך לשוחח עליה, מה היא באה ללמד? למשל, הדיאגרמה של אורך היום בתקופות השנה השונות משמשת נושא לשיחה על העמדות השונות של השמש ברקיע השמים; אותו הדבר גם בירידת החום ועליתו, ועוד ועוד. הדיאגרמות האלה נרשמות בעזרת סרגל ומזוית. אין לחשוש כלל לזה, שטרם עמד הילד על מהותו של קו נצב וקו מקביל. הרשמים האלה שהילד יקבל אגב שרטוטו זה יסכנו לו אחר כך מאוד בשביל שיבין את הלמוד על הקוים האלה. דעתי, כמו שנזכר למעלה, כי יכול הילד וצריך להשתמש במכשיר הנדסי קל ונוח, לפני אשר יבין את חוקי המכשיר הזה ומבנהו, כאשר ישתמש הילד במכונת בשול, בלי דעת את מבנה.

 

ו. ישרים חותכים וישרים מקבילים    🔗

משרטטים על הלוח קוים שונים החותכים אחד את השני: מתבוננים לצורתם וקובעים, כי המרחק שבין הקוים האלה הולך ומתרחב מן הקדקוד לעבר הצלעות. מחפשים בבית ובחצר קוים דומים לאלה: מתעכבים עליהם ונוכחים בשנויי המרחקים שבין שני קוים נחתכים. שמים לב לפאות הקירות המצרנים, הנפגשות בנקודה אחת, מדגיש אני “פאות הקירות”, כדי שלא לערבב זוית שבין קוים בזוית שבין שטחים.

משרטטים קוים ישרים, אשר אמנם אינם נחתכים לעינינו, אבל המרחק שביניהם הולך וצר או הולך ורחב. הילדים אומרים לעיין את הנקודה, שבה יפגשו או יחתכו הקוים. אחר הם בוחנים את דעתם על־ידי המשכת הקוים. אותו הדבר בוחנים ביחס לקוים המצויים בסביבה. דוגמה טובה תשמשנה קרני המנורה או הנר החודרות לבית אפל. (אגב בקשר עם זאת, יש מקום להקדיש באחד הימים הקרובים שיחה מיוחדת על התמעטות מדת ההארה עם רחוק הגוף המואר מהנקודה המאירה ושיחה על מעשה הצלום. באיזה מדה ואיך ישקול המורה.)

לאט לאט עוברים לקוים שמהרחק שביניהם הוא קבוע ועומד. מודדים במזוית וסרגל בנקודות שונות את המרחק שבין שתי פאות נכחות בגוף ישר־הזויות, כגון בשולחן, ברצפה ועוד; המרחק שביניהם אינו משתנה. מתברר שגם המרחק בין קוי המרחקים האלה הוא קבוע. זה יבהיר לילד במקצת את פרושו של מרחק בין שני קוים מקבילים. הפרוש המלא יבוא אחר כך. כשיכיר הילד היטב לדעת, מהו נצב ומהו מקביל. לעת עתה אין להזניח אפשרות קלה של הרשמת רשמי נפש, העלולים לשמש מצע חושי להבנה השכלית.

עתה שמים לב לגופים שאינם ישרי הזויות, אבל צלעותיהם מקבילות. טוב לרכוש לשם כך נייר ששורותיו אלכסונות. אחר מעיר המורה, כי לקוים ישרים כאלה, אשר המרחק ביניהם אינו משתנה, קוראים קוים מקבילים. מובן, כי אין להזניח הזדמנויות שונות להכרת הקו המקביל, הנקרות לרגלי העבודות הנעשות בידי הילדים.

פותחים בשיחה על הקוים המקבילים המצויים בסביבה: שבילי הגנה, פסי מסילת הברזל, שדרות עצים, צדי הרחוב וכו'. יש להתבונן לדיאגרמות, למפות או לשרטוטים הנדסיים מתאימים, להתעכב במקצת על הכוונים השונים של המקבילים ושאינם מקבילים, אולי מהראוי להתחיל לקבוע מעתה את הכוון במצפֵן: הן על גבי לוח ונייר והן על גבי הקרקע ובבנינים שונים. (יש, כמובן, להסמיך לזה באחד הימים הקרובים שיחה על תכונת המצפן, קביעת רוחות השמים בעזרתו, בעזרת המצל ובעזרת הציר הצפוני; – גם – שיחה על ערך קביעה זו לעוברי דרכים ובים וביבשה; יש להסתייע בספורים על תעיות שונות, שקרו ביבשה ובעיקר בים ובמדבר).

מנסים לסמן קוים ישרים מקבילים על פני הקרקע; מודדים מאילו שהן שתי נקודות של קו נתון מרחקים שוים לעברו האחד של הקו הזה. בקצות המרחקים האלה מסמנים אנו שתי נקודות, אשר דרכן נטה קו ישר: הוא הקו המבוקש. בוחנים את המרחקים שבין שני הקוים האלה בנקודות אחרות. בחינה זו מאשרת, כי המרחקים בין הקוים שוים בכל מקום. כאן מקום להראות, כי אם הנקודה השניה, אשר דרכה הטינו את הקו המקביל, תתקרב קצת – רק לשנים או לשלושה ס"מ – אל הקו הנתון, ילכו המשכי הקוים האלה הלוך והתקרב אחד אל השני. אחרי תרגילים שונים ממין זה מתברר שדרך נקודה אחת אפשר להעביר רק קו אחד מקביל לקו נתון.

אחר מתאמנים הילדים בשרטוט קוים מקבילים על הלוח ועל הנייר בלי מזוית.

 

ז. קביעת הכוון בסלילת דרכים    🔗

לדוגמה יש להציע פה שיחה על נושא זה, על פי הספר “גיאומטריה פרודוקטיבית” של שרלמן. הילדים שמעו בודאי על נקודות שונות הנחצבות בהרים לשם סלילת מסילת ברזל. כזאת היא נקבת גוטהרד, הגובלת בין שויצריה ובין איטליה. אותה התחילו לחצוב השויצרים והאיטלקים בזמן אחד, כל אחד מעבר גבולו, כעבור ימים רבים נפגשו החוצבים משני הצדדים בנקודה אחת, וכשנפל הסלע המפריד ביניהם, השתרעה נקרה אחת בארץ של 14,920 מטרים המחברת את שתי הארצות.

הכוון הישר של הנקרה הושג בעזרת המצפן. המהנדסים משתי הארצות שנהלו את העבודה קבעו על ידו כוון אחד לחפירת הנקבה משני עבריה. המצפן הושם על שלוש רגלים או על בסיס אחר ועליו הונחה המשקפת בכוון הנדרש ולפי־זה החלה החציבה. וכעבור זמן־מה, אחרי אשר כבר נחצב חלק מן הנקבה, העמיד שוב המהנדס את המשקפת בכוון הקודם לפי המצפן, ואחד העובדים התיצב באמצע קיר הנקבה ובידו דגל אדום או לבן. אם חוצבה הנקרה בכוון הרצוי – נראה הדגל בכוון הקו האמצעי של המשקפת. כך בחנו המהנדסים משני העברים מפעם לפעם את כוון הנקבה עד גמר החציבה.

החציבה הישרה הזאת הועילה לנו בהרבה; אלמלי נשתרעה הנקבה בקו עקום או שבור היתה היא יותר ארוכה, כי כבר הוברר לנו שהקו הישר הוא המרחק הקטן ביותר בין שתי נקודות. יוצא שעל ידי הכוון הישר אנו מקמצים בעבודה, בזמן ובהוצאות. וגם זאת: אלמלא קבענו את כוון הנקבה מראש, יכול היה לקרות שכווני החציבה משני הצדדים לא היו נפגשים כלל, והיה צורך לחבר אותם בעזרת חפירה שלישית. ועל ידי כך היינו גם מאריכים את הדרך וגם מסכנים את הנסיעה, כי בנטיה עקומה מאוד עלולה הרכבת להחליק מעל פסי הברזל. לדוגמה תשמש אותה הזהירות המיוחדת, שנוהג המכון באוטו בשעת נטיה חדה.

כדאי להסמיך לשיחה זו שיחה על נקבת השלוח בירושלים.

 

ח. זוית ועיגול    🔗

עד כה בררנו את הקו הישר, קוים ישרים מקבילים וקוים ישרים נחתכים. המרחק שבין ישרים מקבילים אינו משתנה. והמרחק שבין ישרים נחתכים הולך ומתרחב מן הקדקוד לצד הצלעות. קוים ישרים הנפגשים בנקודה אחת יוצרים זוית. דוגמה לזו משמשים לנו מחוגי השעון.

נכון את השעון לשעה 12. המחוגים חופפים אחד על השני ואין ביניהם כל זוית: כוונם אחד. אם נזיז את המחוג הגדול, באופן שהמחוג הקטן לא ישנה את מקומו, משעה 12 לשעה 1 – תוצר בין המחוגים זוית קטנה. לשם כך יש להשתמש בשעוני־משחק של ילדים שאין לחשוש לקלקולם. נזיז עוד לחמשה רגעים – והזוית תגדל. כך הולכים אנו ומגדילים את הזוית על ידי זה שאנו מסובבים את המחוג הגדול על צירו (קדקוד הזוית), בשעה שהמחוג השני אינו משנה את כוונו. כשהמחוג הגדול יעמוד באופן כזה על שש, שוב לא תהיה זוית, אלא קו ישר אחד, שבו ראשי המחוגים מכוונים לעברים נגדיים (מבחינה מתמטית זוהי זוית של 180⁰), נחזיר לאט לאט את המחוג הגדול והזוית הלוך תלך ותקטן. כפי שרואים אנו נוצרת כאן הזוית על ידי סבוב. סבוב שלם עושה עיגול. הזוית היא אם כן חלק מן העיגול: רבע, שליש, חמישית וכו‘. משרטטים עיגולים בעלי מחוגים שונים. מתעכבים על מהות העיגול: כל המחוגים שוים; הקוטר שוה לשני מחוגים; הוא מחלק עיגול לשני חצאים: היקף העיגול עולה 3 קטרים ושביעית. עומדים על מושגי המרכז, הקשת ועיגולים קונצנטריים. כל הידיעות האלה נרכשות בדרך נסיונית. דוגמאות של עיגולים נפגשות בטבע ובסביבה. אין לחשוש אם השיחה על העיגול תעבור לשיחה על הכדור. כאן מקום להורות לילד על העיגולים השונים היכולים להוצר על פני הכדור. שיחה זו חוזרת בשעורי הגיאוגרפיה: צורת האופק, השמים, השמש, הירח וחרמשיו, כוכבי לכת וכו’. הגלובוס יכול לעזור הרבה לבירור מושג העיגול. ומובן מאליו, כי בשיחתנו על העיגול המדויק אי אפשר שלא לנגוע בצורות הנדסיות עקומות אחרות, אבל במדה שזה דרוש להבנת העיגול. בשיחה על העיגול ישנן הזדמנויות רבות לנגוע במושג הזוית, כחלק מסבוב שלם.

שני נסרים צרים, באורך של שליש המטר כל אחד, נשלבים בקצותיהם במסמר או בבורג באופן, שהאחד יסוב בקושי על המסמר או על הבורג כעל צירם המשותף. במכשיר זה מאמנים הילדים את ידיהם בחפיפת זויות שונות המצויות בבית ובחוץ. יש להשתמש לשם כך גם במחוגה גדולה רגילה.

 

ט. מדות הזוית    🔗

חוזרים על הגדרת הזוית כחלק מסבוב שלם. אפשר וכדאי להציג את זאת על ידי שרטוט עגולים שונים מסביב למרכז אחד. – שרטוט כזה יוכיח ברור היטב, כי בהסוב המחוג על המרכז – כל נקודותיו עושות אותו החלק מסבוב שלם, זאת אומרת: יוצרות אותה הזוית עם כוונו הנתון, יוצא שכל אותו השטח הבלתי מוגבל הכלול בין שני הכוונים של המחוג סומן על ידי חלק קבוע של סבוב שלם, נאמר: על ידי ששיתו, הוה אומר: מדת הזוית כחלק מסבוב שלם או מעגול אינה משתנית עם שנוי אורך צלעותיה. מדתה תלויה רק במדרגת שנוי הכוון של הצלע האחת לעומת השניה.

הנה נוהגים לחלק עגול ל־ 360 חלקים, או כפי שקוראים להם מעלות. לפי זה עובר סבוב שלם 360⁰; חצי סבוב 180⁰; שמינית 45⁰ וכן הלאה. על פי זה יש לנו אפשרות למדוד את מדת הזוית.

לשם זה משתמשים בטרנספורטיר: חצי עגול המחולק ל 180⁰. שמים את מרכזו בקודקוד הזוית, את קטרו חופפים על הצלע האחת של הזוית ומתבוננים, דרך איזו מעלה עוברת הצלע השניה. אם זו שלושים מעלות הרי הזוית בעלת 30⁰ או חלק השנים עשר מן הסבוב, ואם נמדוד את הזוית בטרנספורטיר קטן או גדול – תמיד נקבל אותו מספר המעלות, כי, כמו שהוברר לעיל אין מדת הזוית תלויה באורך צלעותיה. הרבה והרבה תרגילים על המורה להשלים. למען יתברר לילדים המושג הנכון של הזוית ואי היותה תלויה באורך הצלעות. עכשיו מבאר המורה, כי זוית בעלת 90⁰ נקראת זוית נצבת. משרטטים בעזרת הטרנספורטיר זויות כאלה. המורה שואל מדוע זוית כזאת נקראת נצבת? – מפני שצלע אחת אינה נוטה יותר לעברה האחד מאשר לעברו השני, אלא עומדת זקופה.

כאן אפשר לתת את המושג על זויות צמודות. מודדים את הזויות שבמזוית בעזרת הטרנספורטיר. מסכמים: זוית בעלת 90⁰ היא נצבת; פחות מ 90⁰ – חדה; יותר מ 90⁰ קהה. (180⁰ – קו ישר; יותר מ 180⁰ – זוית בולטת). למעשה אנו מונים את הזוית רק עד 180⁰.

כדאי ורצוי שירבו הילדים למדוד את הזויות השונות אשר בבניני החצר וברהיטים. ישימו לב שהזוית הנצבת היא השכיחה ביותר. זויות נצבות טוב לבחון במזוית. אפשר וכדאי למדוד זויות שונות במחוגה גדולה. קדקוד המחוגה נקבע בקדקוד הזוית העומדת להמדד, פושקים אותה עד כדי ששתי כרעיה תחופנה את צלעות הזוית, אחר מהדקים את בורג המחוגה ומודדים את זויתה בטרנספורטיר מתאים. אם אין מחוגה גדולה אפשר להשתמש במזוית הפרימיטיבית שעליה הוזכר למעלה.

מעתה יש צורך ואפשרות להוכיח, בהדרגה ובקשר עם תרגילי נסיונות, את המשפטים הבאים: א. בנקודה אחת של הקו הישר אפשר להציב לו רק נצב אחד; ב. מנקודה אחת שמחוץ לקו הישר אפשר להוריד אליו רק נצב אחד זויות קדקדיות שוות. סכום זויות צמודות = 180. ההוכחה היא הרגילה בכל גיאומטריה. אלא, נראה, שהגדרת הזוית כחלק מסבוב שלם, מקילה על ההוכחות האלה על ידי חפיפה. אחרי שאמנו הילדים את ידיהם בחפיפת זויות (פרק ז') יבינו להוכיח את החוקים האלה של שויון המשולשים: אם בשני משולשים צלע אחת ושתי זויות שעל ידה או שתי צלעות וזוית ביניהן של האחד שוים לשל השני – המשולשים חופפים. לבסוף, כדאי להוכיח, כי שני נצבים למקביל אחד – מקבילים. ההוכחות הללו הן חצי דידוקטיביות וחצי נסיוניות ויכולות לשמש כניסה נוחה להוכחה הדידוקטיבית. מלבד זאת הן נחוצות לנו מאוד לשם שמוש (עיין פרק י' וי"א).

 

י. אֲנָך וְאֶזֶן    🔗

בפעולות המדידה וכן בפעולות אחרות שמים אנו לב ביחוד לשני כוונים יסודיים: מאונך ומאוזן. כשבנינו גדר השתדלנו שיתדותיו תהיינה מאונכות: כשנטתה היתד לצד אחד יותר מאשר לצד השני – אמרנו שלא טובה עמידתה. גם בנטית קו ישר על ידי ציונים נהגנו כך: השתמשנו לשם קביעת כוון זה באנך. מבנהו פשוט, – חוט שבקצהו קשור כדור עופרת קטן. הכוון שבו מותחת העופרת את החוט הוא שהיה רצוי לנו בכל הפעולות האלה. על כן מגישים את האנך סמוך ליתד. ואם המרחק שבינו ובין היתר הוא אחד לכל אורך האנך, הרי היתד מקבילה לאנך, ז. א. עומדת בכוונו. הנה הבנאים והנגרים מציבים אנך לגובה הקירות, החלונות והדלתות, לבחון אם אלה הם מאונכים, הילדים בוחנים את הקירות באנך, תרגיל זה דורש אמון, למען יהא שגור בידי הילדים.

האנך הוא מתוח בכוון הנפילה, לאמור: אם תנתק האבן מן החוט תפול האבן באותו הכוון. קיר מאונך לא יפול, כל זמן שאיזו סבה לא תוציא אותו ממצבו המאונך. הכובד עצמו מועיל לבצורו. הנדבכים העליונים מעיקים על התחתונים ומהדקים אותם יותר ויותר בכוון תחתית הקיר. והנדבך התחתון נלחץ אל הקרקע בכובד כל הנדבכים שעליו. כי מונחים הם כולם בדרך נפילתם. הבנינים העתיקים נבנו מאבנים גדולות מאוד בלי מלט. והקירות התקיימו אלפי שנים מכח כובד האבנים שבהם. לדוגמא ישמשו לנו הנדבכים התחתונים שבכותל המערבי או הנדבכים העתיקים שבעופל. מובן, כי בנינים כאלה זקוקים ליסוד קרקעי מוצק.

הילדים שמים ספרים או אבנים מרובעות על מקום משופע. כששפוע החפצים מגיע למדה ידועה, הם נופלים. שמים קוביות אחת על גבי השניה באופן, שהעליונות תטינה יותר ויותר לצד אחד וקובעים את המומנט שהקוביות מתחילות לנפול. תחת קורה רבועה, די גבוהה, שמים חתיכת עץ, באופן שהקורה תעמוד בשפוע. באמצעות אנך אפשר לסמן בדיוק את הגבול שבין חלק־הקורה הנשען ובין חלק הקורה התלוי באויר אם החלק הראשון גדול יותר – על קצה אלכסונה – ובנדנוד קל תפול; קוראים לזה שווי משקל רופף. ואם החלק התלוי באויר ירבה על החלק הנשען – תפול הקורה, כי החלק הזה הנוטה לנפול ימשוך אחריו בכבדו את החלק הנשען.

מזה אנו מסיקים, כי אפשר לשַפע במדה ידועה את הקירות – והם בכל זאת לא יפלו. אבל ברגיל מעמידים אותם מאונכים ומרחיבים את תחתיהם ליתר בטחון. כי ישנם הרבה מקרים הגורמים להוציא את הקיר מתוך כוונו. (כמו התמוטטות היסוד הקרקעי, “אינו דומה בונה ביתו על סלע לבונה ביתו על חול”).

מלבד הכוון המאונך יש צורך בבנינים לקבוע גם את הכוון המאוזן. כוון זה יוצר עם האנך זוית נצבת. לשם קביעת כוון זה משתמשים במשולש הנגרים. וזה מעשהו: מצליבים שני נסרים צרים, באורך חצי מטר כל אחד, אחד על גבי השני בנקודות האמצע. את מקום חבירתם מחזקים במסמר או בבורג, באופן שאחד יוכל להסוב בקושי על הבורג או המסמר. אחר מסובבים אותו על המסמר, עד כדי שהמרחקים בין קצה אחד לקצה הסמוך לו יהיו שוים לכל ארבע הקצוות. אם נבחן עתה בטרנספורטיר את ארבע הזויות שנוצרו נוכח כי נצבות הן כולן – ז. א. כל אחת עולה 90⁰. נחתוך עתה כנף אחד הנסרים ולאורך כנפו השנית נחרוץ חריץ באמצעיתה. בראש החריץ ננעץ וו קטן ונתלה עליו אנך.

אם המכשיר יעמוד בנסרו הארוך, שנקרא לו בסיס, על מקום מאוזן יעבור האנך לכל אורכו בחריץ ויגע בעופרתו באמצע הבסיס, כי האנך הוא נצב למאוזן. ואם נעמיד אותו על שפוע, יטה קצה האנך מאמצע הבסיס. נטיה זו גדלה עם רבות מדרגת השפוע. בשביל לבחון אזון של איזה מקום – נאמר של רצפה – צריך להעמיד את המכשיר על המקום ההוא בכוונים שונים, כי יש אשר מאוזן המקום בכוון אחד ואינו מאוזן בכוון שני.

את הכוון המאוזן אנו מבחינים בקרוב גם על פי העין. כל איש יבחין על פני השדה בין מישור לשפוע. פני המים בכלי הם מאוזנים. נקח כוס ונמלאנה עד החצי מים, נביט דרך הכוס מעל למים ונכון על הקיר נקודה הנמצאת בגובה פני המים. אם נטה את הכוס, אז המים כאלו ישתפעו. אבל באמת השתפעה הכוס, והמים נשארו מאוזנים. זאת נראה ממה שפני המים גם עתה מכוונים מול אותה נקודה. אסל מאזנים שקולות נמצא במצב מאוזן, והאנך יוצר אתו זוית נצבת. נתבונן אל החלונות, אל הדלתות, אל השולחנות ואל הכסאות ונראה כי חלקיהם נטוים בכוון על פי רוב מאוזן או מאונך. אם לא יהיה השולחן מאוזן, יתגלגלו ממנו החפצים. נרים את השולחן מקצהו האחד לאט לאט: ראשונה יתגלגלו העטים, העפרונות, אחר הכלים הקטנים ואחר גם הספרים. בכדי שהקירות יעמדו מאונכים צריך לאזן קודם כל את הקרקע מתחתיהם.

מים יורדים מן ההר אל העמק. גם שכבות עפר מדרדרות מן ההר. מפני זה ביהודה הרבה מורדות ההר חשופים וסלעיים. אמנם מים גם במישור לא יעמדו וישטפו לאט, כי כובד המים העליונים דוחק את המים התחתונים. כוח החבור שבין חלקי המים אינו אמיץ כמו בין חלקי גוף מוצק. (כדאי להקדיש לכך שיחה מיוחדת, חוק פסקל) לא כן בשפוע: שם כל טפה נגררת מכובד עצמה. שיחה על הקוים המאוזנים והמאונכים הנמצאים בסביבה ובטבע. מבנה פלס־המים.

אזון הקרקע. לוקים שנים־שלשה קני מדה באורך שנים־שלשה מטרים כל אחד. נוטים קנה מדה אחד על הקרקע ושמים עליו את פלס המים או את משולש הנגרים. אם יראה שקנה המדה אינו מאוזן, ישימו תחת קצהו הנמוך אבנים, עד שהוא יאוזן. על ידו, על גבי האבנים, מניחים קנה־מדה שני ועושים כבראשונה. נניח שגם פה ירד הקצה השני של קנה־המדה, שמים תחתיו שוב אבנים, וכן הלאה והלאה. אם נחבר את גבהי האבנים אחד לאחד, נדע את השפוע, או נדע כמה צריך לשים עפר, עד שהאדמה תאוזן.

 

יא. מדי זוית    🔗

א. בשביל לסמן על הקרקע זוית נצבת, יש להשתמש במכשיר פשוט הנקרא אֶקֶר.

זה עשוי שני נסרים צרים, באורך 1/3 מטר כל אחד, המצולבים באמצעיתם אחד על גבי השני בתבנית זויות נצבות. את נכונות הזויות יבחנו הילדים במחוגה גדולה אשר תושם אחר כך על טרנספורטיר, כאמור בפרק ח. בקצות הנסרים האלה מחזקים במצב מאונך לוחיות קטנות של עץ – צרות וארוכות – אשר לארכן האמצעי נעשים חתכים. חתכי הראיה האלה נחלקים לשל העין ולשל הגוף. חתך העין הוא צר, בערך 0,5 מ"מ; חתך הגוף רחב יותר ובאמצעו לארכו מתוח שער סוס. זה מכון לעומת חתך העין ושניהם – לעומת האורך האמצעי של הנסרים.

בגשת המודד לקביעת זוית נצבת, שם הוא את המכשיר הזה על שלש־רגלים, כעין זה שאצל הצלמים או על בסיס אחר, אשר יחד עם המכשיר מגיעים כמעט עד רום עינו. בפלס מים או במשולש הנגרים בודקים את אזון המכשיר; ממרכזו מורידים למטה אנך, אשר קצהו מסמן את קדקוד הזוית, אשר אותה רוצים לבנות.

ואם יקשה מן המורה והילדים להתקין את חתכי־הראיה, רשאי הוא לתת במקום סכות. טרנספורטיר של 180⁰, המשורטט על גבי נייר, מדביקים על טבלת־עץ מרובעת או עגולה. במרכז הטרנספורטיר מחזקים סרגל, אשר יוכל להסוב בקושי על הבורג המבריג אותו. לקצות הסרגל צמודים חתכי־ראיה, כמבואר בסעיף א. במעלת האפס של הטרנספורטיר נועצים סכה. גם כאן אפשר להמיר את חתכי־הראיה בסכות.

ממרכז הטרנספורטיר מורידים למטה את האנך. אשר קצהו מורה את קדקוד הזוית הנמדדת או הנבנית. מובן, כי הסכות כחתכי־הראיה צריכים להיות מכוונים לעומת הקו האמצעי העובר לאורך הסרגל. את המכשיר הזה מעמידים על בסיס ומאַזנים אותו. אזון המכשיר הוא תנאי עיקרי ודורש על כן תשומת לב.

אם נאַנך את המכשיר הזה, באופן שהקוטר המחבר את מעלת האפס עם מעלת 180⁰ יאוזן, נוכל למדוד בו זויות מאונכות, כמו רום הציר הצפוני. רום השמש בצהרים וכו' וכו'. מובן שמכשירים פרימיטיביים אלה משמשים רק להתחלה: יש צורך ואפשרות לעבור אחר כך למכשירי־מדידה מתוקנים מהפשוטים ביותר והמדויקים ביותר.

 

יב. מדידת־גובה    🔗

עומדים אנו למדוד גובה, נניח, של עץ. לשם זה נועצים באדמה במרחק ידוע מן העץ מוט מאונך. קצת למטה מראשו – ברום של 2 מטרים לפחות – מחזקים אליו בברג פס־עץ באורך 1,25 מ. בערך, באופן אשר במאמץ קל יוכל להסוב על הבורג וליצור זויות שונות עם המוט.

אבל הכרחי שכל פעם אחרי הסבו – לפי הצורך – נוכל לקבעו איתן בכל נטיה שהיא. מכונים אנו את הקו האמצעי של פס זה אל ראש העץ, ואחר מסמנים אנו את הנקודה על פני הקרקע, אשר בה יפגש המשכו של הקו.

ועכשיו נקציע על הנייר, על פי קנה מדה מתאים, את המרחק שבין נקודת הקרקע המסומנת ובין תחתית העץ; על הקו הזה נקציע את מרחק אותה הנקודה מבסיס המוט ובנקודה האחרונה נציב נצב כגובה המוט עד שליבתו עם פס העץ. נחבר בתרשים את נקודת הקרקע המסומנת אל ראש המוט ונמשיך את הקו הזה עד הפגשו בנצב אשר נציב בתחתית העץ. הנצב האחרון הוא גובה העץ על פי קנה מדתנו¹.

הדבר לא יהיה מוכח לילד בדרך המדע, אבל הוא יתָּפֵס בשכל הישר על ידי באור קל, מה שקוראים בדרך ההשערה הנכונה.

דרך זו חשובה מאוד, לדעתי, בשביל הגיל הצעיר; מלבד זאת, יש כאן ערך רב לעצם העבודה, כפעולה טכנית מכונת. הילד גם יוכל אחר כך למדוד את העץ בדרכים פשוטים יותר ולהוכח בנכונות המדידה.

ב. נקח לוח־עץ מרובע או עגול, ששטחו הוא, בערך, 20 סנט על 20 סנט. ונדביק אליו טרנספורטיר של נייר. במרכז הטרנספורטיר נתלה אנך. נכון את בסיס הלוח אל ראש העץ; כל הלוח יהיה אז במצב נוטה והאנך ייצור עם בסיס הלוח זוית חדה. נעמוד עם המכשיר במקום שהאנך ייצור עם בסיס הלוח, המכוון אל ראש העץ, זוית של 45⁰. מרחק המקום הזה מן העץ שוה לגובה העץ, בלי רום העין. אם נצרף למקום הזה את רום העין נקבל את גובה העץ. אחרי מדידות אלה יש להתעכב על ארבע תיאורמות חשובות: א) נצב לאחד המקבילים – נצב הוא לכולם. ב) סכום הזויות במשולש הוא 180⁰. ג) הזויות האלכסונות, שהקו החותך שני מקבילים יוצר עם אותם המקבילים – הן שוות בכל מקום; ד) הזויות המתאימות שהקו יוצר עם המקבילים שחתך גם כן שוות הן. כל אלה אפשר להוכיח על פי הנסיון. ואולם חושבני, שבפרקים הקודמים הונח כבר היסוד בשביל להוכיחן סינתיטית.

ג. אפשר לקחת משולש ישר הזוית, אשר שני נצביו מחולקים לס“מ. בקדקוד הזוית הנצבת רושמים אפס. מאזנים את הזוית ותולים אנך באותה הנקודה על הנצב המאונך, הרחוקה מהאפס מספר ס”מ כרחוק העץ מנקודת המבט. מכונים את קצה שפת המזוית התחתונה מול ראש האילן. ספרת הס"מ אשר בה יגע קצה האנך קובעת את גובה העץ במטרים. הגובה המלא יודע לנו אם נצרף לסכום זה את רום העין. כאן כדאי לברר תיאורימה חמשית, נוספת על ארבע התיאורימות הקודמות, והיא: משולשים, שזויותיהם שוות – הם דומים. הוכחת התיאורימה הזאת בדרך נסיונות טוב לבאר על נייר משובץ.

ד. נקח ביד סנטימטר של עץ או, פשוט, מקל חלק ונכונו מול העץ באופן שיכסה מעינינו את העץ בדיוק. אם נדע את מרחק נקודת המבט מן העץ, מרחקו מן הסנטימטר (אורך היד) ואורך הסנטימטר, נוכל לשרטט את התרשים, על פי המבואר בסעיף א' של הפרק הזה. קודם נשרטט את המשולש הקטן, שקדקדו הוא העין ובסיסו הסנטימטר. אחר נשרטט את גובה המשולש הזה בעזרת מזוית ונמשיכנו כמדת המרחק של נקודת המבט מן העץ. בקצהו נציב נצב ונמשיכנו לשני הצדדים עד אשר יגע בהמשכן של שתי צלעות המשולש. הנצב הזה הוא קנה המדה של גובה העץ.

ה. על אותם היסודות שבסעיף ד' אפשר למדוד את הגובה בדרך זו: נועצים באדמה מוט המחודד משני קצותיו, אשר גבהו מגיע כמעט עד רום עין הצופה. במרחק לא גדול מהמקל הזה נועצים עוד מקל, גבוה יותר. עוזר הצופה מסמן על המקל האחרון את הנקודה, אשר בה נראה ראש האילן הנמדד ואת הנקודה אשר דרכה נראית תחתית האילן.

עתה נרשום על הנייר בקנה־מדה מתאים את המשולש הקטן הנוצר בנקודת עין הרואה ובשתי הנקודות המסומנות על גבי המקל. מנקודת העין נוריד בתרשים נצב לבסיס המשולש ונקציע על המשכו את המרחק שבין העין ובין האילן. בקצה הנצב הזה נציב נצב אשר נמשיכנו לשני עבריו עד נגעו בהמשך שתי הצלעות האחרות של המשולש. הנצב הזה הוא קנה המדה של האילן.

הבאור הוא לפי מה שנאמר בסעיף א' בפרק הזה ².

ו. הדרך הפשוטה ביותר במדידת הגובה והמדויקת פחות היא: המדידה על ידי הצל. בזמן אחד מודדים את הצל של מקל, שמדתו ידועה, ואת צלו של העץ העומד להמדד. מובן, כי יחס אורך המקל אל הצל הוא כיחס אורך העץ אל צלו. מכאן, אם המקל ארוך מצלו, נניח, פי חמשה, הרי גם העץ ארוך מצלו פי חמשה; נכפול את צלו של העץ בחמשה ונקבל את גובה העץ.

ז. גבעה לא גבוהה ביותר נקל מאוד למדוד בעזרת כלים משולבים של זכוכית.

ממלאים אותם מים עד רום ידוע, והמודד קובע בהביטו דרך פני המים שתי נקודות על הגבעה מכוונות מול פני המים. עוזרו נועץ בהן יתדות. אחר עולה הצופה אל אחת היתדות האלה וכמשפט הראשון קובע שוב שתי נקודות על הגבעה, וכן הלאה והלאה עד עלותו אל ראש הגבעה. אם יעלה המודד חמש פעמים עד הגיעו אל ראש הגבעה – יהא גובה הגבעה פי חמשה מרום עינו³.